Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（4，0），與y軸的交點(diǎn)為C．

（1）求出拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是在直線x=4右側(cè)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-2；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由A和B兩點(diǎn)在拋物線上，故把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中，得到關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值，從而確定出拋物線解析式，然后令求出的解析式中x=0，求出y的值即為C的縱坐標(biāo)，寫出C的坐標(biāo)即可；

（2）存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似，理由為：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，根據(jù)題意分別求出OA，OB及OC的長(zhǎng)，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，代入拋物線解析式表示出縱坐標(biāo)，因縱坐標(biāo)為負(fù)值，求出其縱坐標(biāo)的相反數(shù)即為PM的長(zhǎng)，且用OM﹣OA表示出AM的長(zhǎng)，若三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同分兩種情況，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于m的方程，分別求出方程的解即可得到m的值，從而確定出P的坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入拋物線解析式得：

，②﹣①×4得：12a=﹣6，解得：a=﹣，把a=﹣代入①，解得：b=，所以方程組的解為：，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2，令x=0，解得y=2，則C的坐標(biāo)為（0，﹣2）；

（2）存在．根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m﹣2）（m＞4），根據(jù)題意得：OA=1，OC=2，OB=4，則PM=m2﹣m+2，MA=MO﹣OA=m﹣1，若△BOC∽△AMP，∴=，即=，化簡(jiǎn)得：m2﹣6m+5=0，即（m﹣1）（m﹣5）=0，解得：m1=1（舍去），m2=5，則P坐標(biāo)為（5，﹣2）；

若△BOC∽△PMA，∴=，即=，化簡(jiǎn)得：m2﹣9m+8=0，即（m﹣1）（m﹣8）=0，解得：m1=1（舍去），m2=8，則P的坐標(biāo)為（8，﹣14）．

綜上所述：滿足題意的P有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（5，﹣2）或（8，﹣14）．