Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（﹣1，4）； (2) △BCD為直角三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求得解析式后，通過配方成頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，在Rt△BOC中，由勾股定理可得BC2 =18，在Rt△CDF中，由勾股定理可得CD2 =2，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2 =20，從而得BC2+CD2=BD2，由勾股定理的逆定理即可得△BCD為直角三角形．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），可知c=3，

即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3，

把點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（﹣3，0）代入，得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）△BCD是直角三角形，理由如下：

過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=OB2+OC2=18，

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD2=DF2+CF2=2，

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD2=DE2+BE2=20，

∴BC2+CD2=BD2，

∴△BCD為直角三角形．