【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,CD平分∠ACB交于圓O,過點D作PQ∥AB分別交CA、CB延長線于P、Q,連接BD.
(1)求證:PQ是圓O的切線;
(2)連接AD,求證:
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)可得,然后根據(jù)垂徑定理的推論可得OD垂直平分AB,從而證出OD⊥PQ,然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論;
(2)連接AD、BD,由(1)的結(jié)論可得AD=BD,∠BDQ=∠ACD,然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DBQ=∠CAD,從而證出△DBQ∽△CAD,列出比例式即可證出結(jié)論.
證明:(1)連接OD
∵CD平分∠ACB交于圓O,
∴∠ACD=∠BCD
∴
∴OD垂直平分AB
∵PQ∥AB
∴OD⊥PQ
∴PQ是圓O的切線;
(2)連接AD、BD
由(1)知,PQ是圓O的切線
∴AD=BD,∠BDQ=∠ACD
∵四邊形ADBC為圓的內(nèi)接四邊形
∴∠DBQ=∠CAD
∴△DBQ∽△CAD
∴
∴
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線y=x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于另一點C,點D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線交x軸于點H,交直線AB于點F,作PG⊥AB于點G.求出△PFG的周長最大值;
(3)在拋物線y=-x2+bx+c上是否存在除點D以外的點M,使得△ABM與△ABD的面積相等?若存在,請求出此時點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)造了一幅“弦圖”后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖1).圖2是弦圖變化得到,它是用八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,求S2的值.以下是求S2的值的解題過程,請你根據(jù)圖形補(bǔ)充完整.
解:設(shè)每個直角三角形的面積為S
S1﹣S2= (用含S的代數(shù)式表示)①
S2﹣S3= (用含S的代數(shù)式表示)②
由①,②得,S1+S3= 因為S1+S2+S3=10,
所以2S2+S2=10.
所以S2=.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于點P(x,y)和Q(x,y′),給出如下定義:如果y′=,那么稱點Q為點P的“伴隨點”.
例如:點(5,6)的“伴隨點”為點(5,6);點(﹣5,6)的“伴隨點”為點(﹣5,﹣6).
(1)直接寫出點A(2,1)的“伴隨點”A′的坐標(biāo).
(2)點B(m,m+1)在函數(shù)y=kx+3的圖象上,若其“伴隨點”B′的縱坐標(biāo)為2,求函數(shù)y=kx+3的解析式.
(3)點C、D在函數(shù)y=﹣x2+4的圖象上,且點C、D關(guān)于y軸對稱,點D的“伴隨點”為D′.若點C在第一象限,且CD=DD′,求此時“伴隨點”D′的橫坐標(biāo).
(4)點E在函數(shù)y=﹣x2+n(﹣1≤x≤2)的圖象上,若其“伴隨點”E′的縱坐標(biāo)y′的最大值為m(1≤m≤3),直接寫出實數(shù)n的取值范圍.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=4,△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C,當(dāng)A1落在AB邊上時,連接B1B,取BB1的中點D,連接A1D,則A1D的長度是( )
A.B.C.D.6
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【題目】已知:將矩形紙片ABCD折疊,使點A與點C重合(點D與D'為對應(yīng)點),折痕為EF,連接AF.
(1)如圖1,求證:四邊形AECF為菱形;
(2)如圖2,若FC=2DF,連接AC交EF于點O,連接DO、D'O,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中所有等邊三角形.
(圖1) (圖2)
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【題目】如圖,已知拋物線與軸交于點(點在點的左側(cè)),與軸交于.
求點的坐標(biāo);
若點是拋物線在第二象限部分上的一動點,其橫坐標(biāo)為求為何值時,圖中陰影部分面積最小,并寫出此時點的坐標(biāo).
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【題目】綜合與探究
已知:、是方程的兩個實數(shù)根,且,拋物線的圖像經(jīng)過點、.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中拋物線與軸的另一交點為,拋物線的頂點為,試求出點、的坐標(biāo)和的面積;
(3)是線段上的一點,過點作軸,與拋物線交于點,若直線把分成面積之比為的兩部分,請直接寫出點的坐標(biāo) ;
(4)若點在直線上,點在平面上,直線上是否存在點,使以點、點、點、點為頂點的四邊形為菱形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是正方形,點A的坐標(biāo)是(4,0),點p為邊AB上的一點,CPB=60°,沿CP折疊正方形后,點B落在平面內(nèi)B’處,B’的坐標(biāo)為( )
A.(2, 2)B.(, 2-2)C.(2, 4-2)D.(, 4-2)
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