Question

【題目】如圖，已知AB為半圓O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作PB⊥OB，連接AP交半圓O于點(diǎn)C，D為BP上一點(diǎn)，CD是半圓O的切線．

（1）求證：CD＝DP．

（2）已知半圓O的直徑為，PC＝1，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）CD＝．

【解析】

（1）如圖1（見(jiàn)解析），連接OC，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得出，從而可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）如圖2（見(jiàn)解析），連接OC、BC，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出，然后在中利用勾股定理可求出，最后根據(jù)角的和差、等腰三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題（1）的結(jié)論可得，由此即可得．

（1）如圖1，連接OC

∵CD是半圓O的切線

∴OC⊥CD，即

∴

∵PB⊥AB

∴

∴

又

∴

∴；

（2）如圖2，連接OC、BC

∵AB是半圓O的直徑

∴，

∴

又∵

∴

∴，即

∵

∴

解得或（不符題意，舍去）

∴

在中，

由（1）得

即

∵

∴

∴

∴

由（1）知

∴．