Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)M：y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1）．

（1）求拋物線(xiàn)M的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)F（t，0）為x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線(xiàn)M繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線(xiàn)M1．

①拋物線(xiàn)M1的頂點(diǎn)B1的坐標(biāo)為　 　；

②當(dāng)拋物線(xiàn)M1與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤.

【解析】

(1)利用頂點(diǎn)式列出函數(shù)表達(dá)式，再將另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式列出一元一次方程，求出函數(shù)表達(dá)式.

(2)作出圖象，結(jié)合圖象思考.

解：(1)∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,1)

∴設(shè)拋物線(xiàn)M的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+1

∵拋物線(xiàn)M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)

∴a×(-1)2+1=0，解得a=-1

∴拋物線(xiàn)M的函數(shù)表達(dá)為y=-x2+1

(2) ①由題意得，點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)

∵F(t,0),設(shè)B1的坐標(biāo)為(m,n)

∴,

∴m=2t，n=-1

∴B1(2t,-1).

②由題意可知拋物線(xiàn)M1的頂點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2t,-1)，二次項(xiàng)系數(shù)為1，

∴拋物線(xiàn)M1的函數(shù)表達(dá)式為：y=(x-2t)2-1(t>0),

當(dāng)拋物線(xiàn)M1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)時(shí)(如下圖)：

∴(-1-2t)2-1=0,解得t1=-1,t2=0；

當(dāng)拋物線(xiàn)M1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,1)時(shí)(如上圖)：

∴(0-2t)2-1=1,解得t=.

結(jié)合圖象分析，因?yàn)?/span>t>0，所以當(dāng)拋物線(xiàn)M1與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是0<t≤.

故答案為：(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤.