【題目】RtAEB中,∠AEB90°,以斜邊AB為邊向RtAEB形外作正方形ABCD,若正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O(如圖1).

1)求證:EO平分∠AEB;

2)猜想線段OEEB、EA之間的數(shù)量關(guān)系為   (直接寫出結(jié)果,不要寫出證明過程);

3)過點(diǎn)CCFEBF,過點(diǎn)DDHEAH,CFDH的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G(如圖2),求證:四邊形EFGH為正方形.

【答案】1)求證見解析;(2OEEB+EA;(3)見解析.

【解析】

1)延長(zhǎng)EA至點(diǎn)F,使AFBE,連接OF,由SAS證得△OBE≌△OAF,得出OEOF,∠BEO=∠AFO,由等腰三角形的性質(zhì)與等量代換即可得出結(jié)論;

2)判斷出△EOF是等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;

3)先根據(jù)ASA證得△ABE≌△ADH,△ABE≌△BCF,△ADH≌△DCG,△DCG≌△CBF,得出FGEFEHHG,再由∠F=∠H=∠AEB90°,由此可得出結(jié)論.

1)證明:延長(zhǎng)EA至點(diǎn)F,使AFBE,連接OF,如圖所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BOA90°,OBOA,

∵∠AEB90°

∴∠OBE+OAE360°90°90°180°,

∵∠OAE+OAF180°

∴∠OBE=∠OAE,在△OBE與△OAF中,

,

∴△OBE≌△OAFSAS),

OEOF,∠BEO=∠AFO,

∴∠AEO=∠AFO

∴∠BEO=∠AEO,

EO平分∠AEB;

2)解:OEEB+EA,理由如下:

由(1)得:△OBE≌△OAF,

OEOF,∠BOE=∠AOF,

∵∠BOE+AOE90°,

∴∠AOF+AOE90°,

∴∠EOF90°,

∴△EOF是等腰直角三角形,

2OE2EF2

EFEA+AFEA+EB,

2OE2=(EB+EA2,

OEEB+EA,

故答案為:OEEB+EA

3)證明:∵CFEBDHEA,

∴∠F=∠H=∠AEB90°,

∵四邊形ABCD是正方形,

ABAD,∠BAD90°

∴∠EAB+DAH90°,∠EAB+ABE90°,∠ADH+DAH90°,

∴∠EAB=∠HDA,∠ABE=∠DAH

在△ABE與△ADH中,

,

∴△ABE≌△ADHASA),

BEAHAEDH,

同理可得:△ABE≌△BCF,△ADH≌△DCG,△DCG≌△CBF

BECF,AEBF,AHDG,DHCGDGCF,CGBF

CG+FCBF+BEAE+AHDH+DG

FGEFEHHG,

∵∠F=∠H=∠AEB90°,

∴四邊形EFGH為正方形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】閱讀對(duì)人成長(zhǎng)的影響是很大的,某中學(xué)共1500名學(xué)生.為了了解學(xué)生課外閱讀的情況,就你最喜歡的圖書類別(只選一項(xiàng))隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪成如下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖(如圖).請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息解答下列問題:

1)這次隨機(jī)調(diào)查了 名學(xué)生;

2)把統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

3)隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生,估計(jì)恰好是喜歡其他類圖書的概率是

4)此學(xué)校想為校圖書館增加書籍,請(qǐng)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,為學(xué)校選擇一種學(xué)生最喜歡的書籍充實(shí)校圖書館,并說(shuō)明理由;

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】學(xué)習(xí)完正多邊形和圓后,在師生共同小結(jié)與歸納時(shí),下面有幾位同學(xué)談了自己的想法.

針對(duì)以上三位同學(xué)的意見,談?wù)勛约旱南敕ǎ?/span>

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,△ABE為等邊三角形,連接DE,CE,延長(zhǎng)AECDF點(diǎn),則∠DEF的度數(shù)為_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在一個(gè)不透明的布袋中,紅球、黑球、白球共有若干個(gè),除顏色外,形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,小新從布袋中隨機(jī)摸出一球,記下顏色后放回布袋中,搖勻后再隨機(jī)摸出一球,記下顏色, 如此大量摸球?qū)嶒?yàn)后,小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于,摸出黑球的頻率穩(wěn)定于,對(duì)此實(shí)驗(yàn),他總結(jié)出下列結(jié)論: 若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn),摸出白球的頻率穩(wěn)定于若從布袋中任意摸出一個(gè)球,該球是黑球的概率最大; 若再摸球100次,必有20次摸出的是紅球其中說(shuō)法正確的是

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有四個(gè)數(shù)字小明做了60次投擲試驗(yàn),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

朝下數(shù)字

1

2

3

4

出現(xiàn)的次數(shù)

16

20

14

10

計(jì)算上述試驗(yàn)中“4朝下的頻率是多少?

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,投擲一次正四面體,出現(xiàn)2朝下的概率是的說(shuō)法正確嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形 ABCO 的邊 OA x 軸上,邊 OC y 軸上,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(34),直線 CD 分別交 OB、AB 于點(diǎn) D、E,若 BDBE,則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在正五邊形ABCDE中,對(duì)角線EB分別相交于點(diǎn)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A. 四邊形EDCN是菱形

B. 四邊形MNCD是等腰梯形

C. 相似

D. 全等

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,O 的半徑是2,直線l與⊙O 相交于AB 兩點(diǎn),M、N 是⊙O 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線l的異側(cè),∠AMB45°,則四邊形MANB 面積的最大值是

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案