Question

【題目】如圖, ⊙O 的半徑是2，直線l與⊙O 相交于A、B 兩點(diǎn),M、N 是⊙O 上的兩個(gè)動點(diǎn)，且在直線l的異側(cè),若∠AMB＝45°,則四邊形MANB 面積的最大值是 ．

Answer 1

【答案】4

【解析】試題分析：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，而當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，即M點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)，所以四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=×2×4=4．

試題解析：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，

∵∠AMB=45°，

∴∠AOB=2∠AMB=90°，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=2，

∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，

∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，

即M點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)，

此時(shí)四邊形MANB面積的最大值= S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=×2×4=4．