已知如圖,矩形OABC的長OA=,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC.
(1)求∠PCB的度數(shù);
(2)若P,A兩點在拋物線y=-x2+bx+c上,求b,c的值,并說明點C在此拋物線上;
(3)(2)中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D,與x軸相交于另外一點E,若點M是x軸上的點,N是y軸上的點,以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求點M、N的坐標.

【答案】分析:(1)根據(jù)OC、OA的長,可求得∠OCA=∠ACP=60°(折疊的性質(zhì)),∠BCA=∠OAC=30°,由此可判斷出∠PCB的度數(shù).
(2)過P作PQ⊥OA于Q,在Rt△PAQ中,易知PA=OA=3,而∠PAO=2∠PAC=60°,即可求出AQ、PQ的長,進而可得到點P的坐標,將P、A坐標代入拋物線的解析式中,即可得到b、c的值,從而確定拋物線的解析式,然后將C點坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可.
(3)根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點的坐標,然后分兩種情況考慮:
①DE是平行四邊形的對角線,由于CD∥x軸,且C在y軸上,若過D作直線CE的平行線,那么此直線與x軸的交點即為M點,而N點即為C點,D、E的坐標已經(jīng)求得,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點M的坐標,而C點坐標已知,即可得到N點的坐標;
②DE是平行四邊形的邊,由于A在x軸上,過A作DE的平行線,與y軸的交點即為N點,而M點即為A點;易求得∠DEA的度數(shù),即可得到∠NAO的度數(shù),已知OA的長,通過解直角三角形可求得ON的值,從而確定N點的坐標,而M點與A點重合,其坐標已知;
同理,由于C在y軸上,且CD∥x軸,過C作DE的平行線,也可找到符合條件的M、N點,解法同上.
解答:解:(1)在Rt△OAC中,OA=,OC=1,則∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根據(jù)折疊的性質(zhì)知:OA=AP=,∠ACO=∠ACP=60°;
∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.

(2)過P作PQ⊥OA于Q;
Rt△PAQ中,∠PAQ=60°,AP=;
∴OQ=AQ=,PQ=,
所以P(,);
將P、A代入拋物線的解析式中,得:
,
解得;
即y=-x2+x+1;
當x=0時,y=1,故C(0,1)在拋物線的圖象上.

(3)①若DE是平行四邊形的對角線,點C在y軸上,CD平行x軸,
∴過點D作DM∥CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形,
把y=1代入拋物線解析式得點D的坐標為(,1)
把y=0代入拋物線解析式得點E的坐標為(-,0)
∴M(,0);N點即為C點,坐標是(0,1);

②若DE是平行四邊形的邊,
過點A作AN∥DE交y軸于N,四邊形DANE是平行四邊形,
∴DE=AN===2,
∵tan∠EAN=
∴∠EAN=30°,
∵∠DEA=∠EAN,
∴∠DEA=30°,
∴M(,0),N(0,-1);
同理過點C作CM∥DE交y軸于N,四邊形CMDE是平行四邊形,
∴M(-,0),N(0,1).
點評:此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識,同時考查了分類討論的數(shù)學思想,難度較大.
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