Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），，DE交AC于點(diǎn)E，且.下列結(jié)論：①∽；②當(dāng)時(shí)，與全等；③為直角三角形時(shí)，BD等于8或.其中正確的有__________.（選填序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD=6，則DC=10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得.

解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
故①正確；
②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，

∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD與△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA），
故②正確；
③當(dāng)∠AED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8，
當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，

∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，

∴△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=，AB=10，
∴cosB=，

∴BD=，

故③正確，④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③．