Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．

（1）求證：AE為⊙O的切線．

（2）當(dāng)BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為3．

【解析】

（1）連接OM，如圖，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，由角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可得∠OMB=∠CBM，從而可得OM∥BC，進(jìn)一步即可推出AE⊥OM，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）先由等腰三角形的性質(zhì)求出BE的長，設(shè)⊙O的半徑為R，易證△OMA∽△BEA，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到關(guān)于R的方程，解方程即得結(jié)果．

（1）證明：連接OM，如圖，

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，

∵BC=8，

∴BE=BC=4，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，即，

解得：R=3，

∴⊙O的半徑為3．