Question

（1）探究新知：

①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點M，N是直線CD上任意兩點．求證：△ABM與△ABN的面積相等． 

 

②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．  

（2）結論應用：    

如圖③，拋物線的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D．試探究在拋物線上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？ 若存在，請求出此時點E的坐標，若不存在，請說明理由．【改編】    

Answer 1

解：

﹙1﹚①證明：分別過點M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點E，F．

∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四邊形ABCD為平行四邊形．  

∴ AB∥CD．∴ ME＝ NF．                

 ∵S_△ABM＝，S_△ABN＝，

∴ S_△ABM＝ S_△ABN．                     

②相等．理由如下：分別過點D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K．

則∠DHA＝∠EKB＝90°．∵ AD∥BE，∴ ∠DAH＝∠EBK．∵ AD＝BE，

∴ △DAH≌△EBK．  ∴ DH＝EK．                

∵ CD∥AB∥EF，   ∴S_△ABM＝，S_△ABG＝，

 ∴  S_△ABM＝ S_△ABG.                              

﹙2﹚答：存在．

解：因為拋物線的頂點坐標是C(1，4)，所以，可設拋物線的表達式為.

又因為拋物線經過點A(3，0)，將其坐標代入上式，得，解得.

∴ 該拋物線的表達式為，即．      

∴ D點坐標為（0，3）．                                    

設直線AD的表達式為，代入點A的坐標，得，解得.

∴ 直線AD的表達式為．                          

過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H．則H點的縱坐標為．

∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．

設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為．   

過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標為，EF∥CG．

由﹙1﹚可知：若EP＝CH，則△ADE與△ADC的面積相等．       

①若E點在直線AD的上方﹙如圖③-1﹚，

則PF＝，EF＝．                              

∴ EP＝EF－PF＝＝．∴ ． 

解得，．

當時，PF＝3－2＝1，EF＝1+2＝3．  ∴ E點坐標為（2，3）． 

同理 當m＝1時，E點坐標為（1，4），與C點重合．             

②若E點在直線AD的下方﹙如圖③－2,③－3﹚，

則．                     

∴．解得，． 

當時，E點的縱坐標為；   

當時，E點的縱坐標為．    

∴ 在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E₁（2，3）；；．