【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)請直接寫出點A,C,D的坐標;
(2)如圖(1),在x軸上找一點E,使得△CDE的周長最小,求點E的坐標;
(3)如圖(2),F(xiàn)為直線AC上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得△AFP為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:當y=﹣x2﹣2x+3中y=0時,有﹣x2﹣2x+3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∵A在B的左側,
∴A(﹣3,0),B(1,0).
當y=﹣x2﹣2x+3中x=0時,則y=3,
∴C(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴頂點D(﹣1,4)
(2)
解:作點C關于x軸對稱的點C′,連接C′D交x軸于點E,此時△CDE的周長最小,如圖1所示.
∵C(0,3),
∴C′(0,﹣3).
設直線C′D的解析式為y=kx+b,
則有 ,解得: ,
∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3,
當y=﹣7x﹣3中y=0時,x=﹣ ,
∴當△CDE的周長最小,點E的坐標為(﹣ ,0)
(3)
解:設直線AC的解析式為y=ax+c,
則有 ,解得: ,
∴直線AC的解析式為y=x+3.
假設存在,設點F(m,m+3),
△AFP為等腰直角三角形分三種情況(如圖2所示):
①當∠PAF=90°時,P(m,﹣m﹣3),
∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3,
解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,
此時點P的坐標為(2,﹣5);
②當∠AFP=90°時,P(2m+3,0)
∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴0=﹣(2m+3)2﹣2×(2m+3)+3,
解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,
此時點P的坐標為(1,0);
③當∠APF=90°時,P(m,0),
∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴0=﹣m2﹣2m+3,
解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,
此時點P的坐標為(1,0).
綜上可知:在拋物線上存在點P,使得△AFP為等腰直角三角形,點P的坐標為(2,﹣5)或(1,0)
【解析】(1)令拋物線解析式中y=0,解關于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標,再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標,利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標;(2)作點C關于x軸對稱的點C′,連接C′D交x軸于點E,此時△CDE的周長最小,由點C的坐標可找出點C′的坐標,根據(jù)點C′、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式,令其y=0求出x值,即可得出點E的坐標;(3)根據(jù)點A、C的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,假設存在,設點F(m,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮.根據(jù)等腰直角三角形的性質結合點A、F點的坐標找出點P的坐標,將其代入拋物線解析式中即可得出關于m的一元二次方程,解方程求出m值,再代入點P坐標中即可得出結論.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列語句中不正確的是( )
A.同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線
B.在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與己知直線垂直
C.如果兩個三角形,兩條對應邊及其夾角相等,那么這兩個三角形全等
D.角是軸對稱圖形,它的角平分線是對稱軸
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【題目】某水果商行計劃購進A、B兩種水果共200箱,這兩種水果的進價、售價如下表所示:
價格 | 進價(元/箱) | 售價(元/箱) |
A | 60 | 70 |
B | 40 | 55 |
(1)若該商行進貸款為1萬元,則兩種水果各購進多少箱?
(2)若商行規(guī)定A種水果進貨箱數(shù)不低于B種水果進貨箱數(shù)的 ,應怎樣進貨才能使這批水果售完后商行獲利最多?此時利潤為多少?
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【題目】已知AM∥CN,點B為平面內(nèi)一點,AB⊥BC于B.
(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系________;
(2)如圖2,過點B作BD⊥AM于點D,試說明:∠ABD=∠C;
(3)如圖3,在(2)問的條件下,點E在DM上,且BE平分∠DBC,試說明∠ABE=∠AEB.
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【題目】閱讀理解題: 學習了二次根式后,你會發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如3+2 =(1+)2, 我們來進行以下的探索:
設a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n都是正整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m+2n2 , b=2mn, 這樣就得出了把類似a+b的式子化為平方式的方法.
請仿照上述方法探索并解決下列問題:
(1)當a,b,m,n都為正整數(shù)時,若a﹣b=(m﹣n)2 , 用含m,n的式子分別表示a,b,得a=________,b=________;
(2)利用上述方法,找一組正整數(shù)a,b,m,n填空:___﹣_____=(____﹣_____)2
(3)a﹣4=(m﹣n)2且a,m,n都為正整數(shù),求a的值.
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【題目】一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象由直線y=3x向下平移得到,且過點A(1,2).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)求直線y=kx+b與x軸的交點B的坐標;
(3)設坐標原點為O,一條直線過點B,且與兩條坐標軸圍成的三角形的面積是,這條直線與y軸交于點C,求直線AC對應的一次函數(shù)的解析式.
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【題目】如圖4所示,所有正方形的中心均在坐標原點,且每條邊與x軸或y軸平行,從內(nèi)到外,它們的邊長依次為2,4,6,8 …,頂點依次用…表示,則頂點A55的坐標是( ).
A. (13,13) B. (-13,-13) C. (14,14) D. (-14,-14)
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【題目】已知二次函數(shù)y=﹣ x2﹣3x﹣ ,設自變量的值分別為x1 , x2 , x3 , 且﹣3<x1<x2<x3 , 則對應的函數(shù)值y1 , y2 , y3的大小關系是( )
A.y1>y2>y3
B.y1<y2<y3
C.y2>y3>y1
D.y2<y3<y1
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,直徑AC=6,對角線AC、BD交于E點,且AB=BD,EC=1,則AD的長為( )
A.
B.
C.
D.3
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