【題目】如圖1,已知△ABC和△EFC都是等邊三角形,點(diǎn)E在線段AB上.
(1)求證:AE=BF,BF∥AC;
(2)若點(diǎn)D在直線AC上,且ED=EC(如圖2),求證:AB=AD+BF;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)E改為在線段AB的延長線上,其它條件不變(如圖3),請(qǐng)直接寫出AB、AD、BF之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】
(1)解:如圖1,∵△ABC和△EFC都是等邊三角形,
∴∠ACB=∠ECF=60°,AC=BC,CE=FC,
∴∠1=∠2,
在△ACE和△BCF中,
,
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴AE=BF,且∠BAC=∠FBC=60°,
又∠ABC=60°,
∴∠A+∠ABC+∠FBC=180°,即∠A+∠ABF=180°,
∴AC∥BF
(2)解:證明:如圖2,過E作EM∥BC交AC于M,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠AEM=∠AME=60°,
∴△AEM是等邊三角形,
∴AE=EM=AM,
∴∠DAE=∠EMC=120°,
∵DE=CE,
∴∠D=∠1,
在△ADE和△MCE中,
,
∴△ADE≌△MCE(AAS),
∴AD=CM,
由(1)得△ACE≌△FCB,
∴BF=AE=AM,
∵AC=AM+CM,
∴AC=BF+AD,
即AB=BF+AD
(3)解:AB、AD、BF之間的數(shù)量關(guān)系為:AB=BF﹣AD,
理由:如圖3,過E作EM∥BC交AC的延長線于M,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠AEM=∠AME=60°,
∴△AEM是等邊三角形,
∴AE=EM=AM,
∴∠DAE=∠EMC=60°,
∵DE=CE,
∴∠ADE=∠DCE,
∴∠ADE=∠ECM,
在△ADE與△MCE中,
,
∴△ADE≌△MCE(AAS),
∴AD=CM,
由(1)得△ACE≌△FCB,
∴BF=AE=AM,
∵AM=AC+CM,
∴AC=AM﹣CM,
∴AC=BF﹣AD,
即AB=BF﹣AD.
【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ECF=60°,AC=BC,CE=FC,推出△ACE≌△FCB,得到AE=BF且∠A=∠CBF=60°,于是得到∠A+∠ABF=180°,根據(jù)平行線的判定定理即可得到AC∥BF;(2)過E作EM∥BC交AC于M,得到△AEM是等邊三角形,求得AE=EM=AM,∠DAE=∠EMC=120°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),得到AD=CM,由(1)得△ACE≌△FCB,得到BF=AE,進(jìn)而推出AB=BF+AD;(3)過E作EM∥BC交AC的延長線于M,推出△AEM是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),得到∠DAE=∠EMC=60°,推出∠ADE=∠ECM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),得到AD=CM,等量代換即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì),掌握兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可以解答此題.
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(1)求反比例函數(shù)y=和直線y=kx+b的解析式;
(2)連接CD,試判斷線段AC與線段CD的關(guān)系,并說明理由;
(3)點(diǎn)E為x軸上點(diǎn)A右側(cè)的一點(diǎn),且AE=OC,連接BE交直線CA與點(diǎn)M,求∠BMC的度數(shù).
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(1)求a、b的值;
(2)初三年級(jí)學(xué)生的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用,請(qǐng)將初三年級(jí)學(xué)生可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)直接填入表中.(不需寫出計(jì)算過程)
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