Question

【題目】（模型建立）

如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經過點，過作于點，過作于點.

求證：；

（模型應用）

①已知直線：與軸交于點，與軸交于點，將直線繞著點逆時針旋轉至直線，如圖2，求直線的函數表達式；

②如圖3，在平面直角坐標系中，點，作軸于點，作軸于點，是線段上的一個動點，點是直線上的動點且在第一象限內.問點、、能否構成以點為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請直接寫出此時點的坐標，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】【模型建立】詳見解析；【模型應用】①；②Q點坐標為（4，2）或（，）.

.

【解析】

模型建立：根據△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；
模型應用：①過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C（-3，5），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；
②分兩種情況考慮：如圖3，∠AQP=90°，AQ=PQ，設Q點坐標為（a，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q點坐標；如圖4，同理求出Q的坐標.

模型建立：證明：∵，

∴.

∵,∠ACB=90°.

∴.

又∵，

∴.

在與中，

，

∴.

模型應用：

如圖2，過點作交于，過作軸于，

∵，

∴為等腰直角三角形.

由（1）可知：，

∴，.

∵

∴令，得，∴，

令，得，∴.

∴，，

∴.

∴.

設的解析式為

∴

∴

的解析式：.

分以下兩種情況：

如圖3，當∠AQP=90°時，AQ=PQ，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F．

在△AQE和△QPF中，由（1）可得，△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，設點Q的坐標為(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a，解得a=4.

此時點Q的坐標為（4，2）.
如圖4：當∠AQP=90°時，AQ=PQ時，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，設點Q的坐標為(a,2a-6),則AE=2a-12，FQ=8-a．

,

在△AQE和△QPF中，同理可得△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，解得a=.

此時點Q的坐標為（，）.

綜上所述：A、P、Q可以構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，點Q的坐標為 （4，2）或（，）.