Question

【題目】對于一個三位正整數(shù)t，將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后（包括本身），得到一個新的三位數(shù) （a≤c），在所有重新排列的三位數(shù)中，當|a+c﹣2b|最小時，稱此時的 為t的“最優(yōu)組合”，并規(guī)定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后為：142、214、因為|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124為124的“最優(yōu)組合”，此時F（124）=﹣1．

（1）三位正整數(shù)t中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，求證：F（t）=0；

（2）一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)能被2整除，前三位數(shù)能被3整除，…，一直到前N位數(shù)能被N整除，我們稱這樣的數(shù)為“善雅數(shù)”．例如：123的第一位數(shù)1能披1整除，它的前兩位數(shù)12能被2整除，前三位數(shù)123能被3整除，則123是一個“善雅數(shù)”．若三位“善雅數(shù)”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y為整數(shù)），m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）0．

【解析】試題分析：（1）由三位正整數(shù)t中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，根據(jù)“最優(yōu)組合”的定義即可求解；

（2）由三位“善雅數(shù)”的定義，可得a為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，且2+x+y＜30，又由m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，可得2+x+y=32=9，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：∵三位正整數(shù)t中，有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，∴重新排序后：其中兩個數(shù)位上數(shù)字的和是一個數(shù)位上的數(shù)字的2倍，∴a+c﹣2b=0，即（a﹣b）﹣（b﹣c）=0，∴F（t）=0；

∵（2）∵m=200+10x+y是“善雅數(shù)”，∴x為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，∵x＜10，y＜10，∴2+x+y＜30，∵m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，∴2+x+y=32=9，∴當x=0時，y=7，當x=2時，y=5，當x=4時，y=3，當x=6時，y=1，∴所有符合條件的“善雅數(shù)”有：207，225，243，261，∴所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值是=|2﹣3|﹣|3﹣4|=0．