Question

【題目】問(wèn)題提出

(1)如圖①，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC=8，則正方形ABCD的面積為　 　；

問(wèn)題探究

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠DCB=90°，∠ADC+∠ABC=180°，若四邊形ABCD的面積為8，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；

問(wèn)題解決

(3)如圖③，四邊形ABCD是張叔叔要準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)的菜地示意圖，其中邊AD和AB是準(zhǔn)備用磚來(lái)砌的磚墻，且滿足AD=AB，∠DAB=90°，邊DC和CB是準(zhǔn)備用現(xiàn)有的長(zhǎng)度分別為3米和7米的竹籬笆來(lái)圍成的籬笆墻，即DC=3米，CB=7米．按照這樣的想法，張叔叔圍成的菜園里對(duì)角線AC的長(zhǎng)是否存在最大值呢？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)32；(2)4；(3)存在，最大值為5．

【解析】

(1)先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后再根據(jù)面積公式解答即可；

(2)先說(shuō)明△ADC'≌△ABC(SAS)，進(jìn)而得出S△ADC'=S△ABC，AC'=AC，然后再根據(jù)面積公式解答即可；

(3先判斷出點(diǎn)D在CC'上時(shí)， AC最大，求出AC的長(zhǎng)即可．

解：(1)∵AC是正方形的對(duì)角線，

∴∠B=90°，AB=BC，

在Rt△ABC中，AC=8，

根據(jù)勾股定理得，AB2+BC2=AC2，

∴2AB2=AC2=64，

∴AB2=32，

∴S正方形ABCD=32，

故答案為32；

(2)如圖②，延長(zhǎng)CD至C'使DC'=BC，連接AC'，

∴∠ADC+∠ADC'=180°，

∵∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠ADC'=∠ABC，

∵AD=AB，

∴△ADC'≌△ABC(SAS)，

∴S△ADC′=S△ABC，AC'=AC，

∴∠DAC'=∠BAC，

∴∠DAC'+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，

∴∠CAC'=90°，

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ADC′+S△ADC=S△ACC′=8，

∵S△ACC′=ACAC'=AC2=8，

∴AC=4，

即AC的長(zhǎng)為4；

(3)如圖③，

將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADC'，連接AC'，CC'，

由旋轉(zhuǎn)知，AC'=AC，C'D=BC，∠CAC'=90°，

當(dāng)點(diǎn)D在CC'上時(shí)，AC最大

此時(shí)，CC'=CD+C'D=CD+BC=10，

∴AC2=CC'2=50，

∴AC=5．