【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,M、N分別是邊AB、AC的中點,在射線MN上取點D,使∠ADM=∠BAC,連接AD.
(1)如圖1,當BC=3時,求DM的長.
(2)如圖2,以AB為底邊在AB的左側作等腰△ABE,并且使頂角∠AEB=2∠BAC,連接EM.
①判斷四邊形AEMD的形狀,并說明理由.
②設BC=x(x>0),四邊形AEMD的面積為y,試用含x的式子表示y,并說明是否存在x的值,使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積?若存在,請求出x的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1中,
∵AM=MB,AN=NC,
∴MN∥BC,MN= BC= ,
∴∠ANM=∠C=90°,
∴∠AMN+∠MAN=90°,
∵∠MAN=∠D,
∴∠AMN+∠D=90°,
∴∠MAD=90°,
∵∠ANM=∠AND=90°,∠MAN=∠D,
∴△MAN∽△ADN,
∴ = ,
∴ = ,
∴DN=6,
∴DM=MN+DN= +6= .
(2)
解:①如圖2中,結論:四邊形AEMD是平行四邊形.
∵EA=EB,AM=BM,
∴EM⊥AB,∠MEB=∠MEA,
由(1)可知AD⊥AB,
∴EM∥AD,
∵∠AEM+∠EAM=90°,
∵∠AEB=2∠BAC,
∴∠AEM=∠BAC,
∴∠BAC+∠EAM=90°,
∴∠EAC=90°=∠MNC,
∴AE∥DM,
∴四邊形AEMD是平行四邊形.
②∵△MAN∽△ADN,
∴ = ,
∴ = ,
∴DN= ,
∴DM=MN+DN= + ,
∴S四邊形AEMD=DMAN=( + )3= x+ .
假設存在x,使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積,
則有 x+ = x6,
整理得x2﹣2x+36=0,
∵△=(﹣2)2﹣4×1×36<0,
∴方程無解,假設不成立.
∴不存在使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積的x的值.
【解析】(1)只要證明△MAN∽△ADN,可得 = ,由此求出DN即可解決問題;(2)①結論:四邊形AEMD是平行四邊形.分別證明EM∥AD,AE∥DM即可;②由△MAN∽△ADN,可得 = ,即 = ,求出DN,即可解決問題.利用反證法證明不存在x的值,使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積;
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識,掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構造相似三角形求解.
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【題目】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點,連接EG,CG.
(1)求證:EG=CG;EG⊥CG.
(2)將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°,如圖②所示,取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖,BD為⊙O的直徑,AB=AC,AD交BC于點E,AE=1,ED=2.
(1)求證:∠ABC=∠D;
(2)求AB的長;
(3)延長DB到F,使得BF=BO,連接FA,試判斷直線FA與⊙O的位置關系,并說明理由.
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【題目】如圖,已知A(2,3)、B(1,1)、C(4,1)是平面直角坐標系中的三點.
(1)①請畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1;
②畫出△A1B1C1向下平移3個單位得到的△A2B2C2;
(2)若△ABC中有一點P坐標為(x,y),請直接寫出經過以上變換后△A2B2C2中點P的對應點P2的坐標.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(b>a>0)與x軸最多有一個交點,現有以下四個結論:①該拋物線的對稱軸在y軸左側;②關于x的方程ax2+bx+c+2=0無實數根;③a﹣b+c≥0; ④ 的最小值為3.其中正確的是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
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【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長BD交CF于點G.
①求證:BD⊥CF;
②當AB=4,AD= 時,求線段BG的長.
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【題目】如圖,直線y=﹣ x﹣ 與x,y軸分別交于點A,B,與反比例函數y= 的圖象在第二象限交于點C,過點A作x軸的垂線交該反比例函數圖象于點D.若AD=AC,則點D的坐標為 .
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,E,F分別為BC,CD上的點,且BD∥平面AEF.
(1)求證:EF∥平ABD面;
(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求證:平面AEF⊥平面ACD.
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