如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；
（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=，CQ=時，P、Q兩點間的距離 (用含的代數(shù)式表示)．

如圖1，四邊形ABCD中，、為它的對角線，E為AB邊上一動點（點E不與點A、B重合），EF∥AC交BC于點F，F(xiàn)G∥BD交DC于點G，GH∥AC交AD于點H，連接HE．記四邊形EFGH的周長為，如果在點的運動過程中，的值不變，則我們稱四邊形ABCD為“四邊形”， 此時的值稱為它的“值”．經(jīng)過探究，可得矩形是“四邊形”．如圖2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，則它的“值”為          ．
  
（1）等腰梯形                  （填“是”或 “不是”）“四邊形”；
（2）如圖3，是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，，點為上的一動點，將△沿的中垂線翻折，得到△．當點運動到某一位置時，以、、、、、中的任意四個點為頂點的“四邊形”最多，最多有   個．

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（0，1），B（–1，1），C（–1，3）．

（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A₁B₁C₁；
（2）畫出△ABC繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A₂B₂C₂；
（3）C₁的坐標為      ，C₂的坐標為      ，在（2）中點A旋轉(zhuǎn)到A₂經(jīng)過的路徑長為       ．

已知△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的，它們各頂點在平面直角坐標系中的坐標如下表所示：

△ABC	A（，0）	B（3，0）	C（5，5）
△A′B′C′	A′（4，2）	B′（7，b）	C′（c，7）

在平面直角坐標系中，△AOB的位置如圖。

（1）若△A₁OB₁是△AOB關于原點O的中心對稱圖形，則頂點A₁的坐標為(    ，    )；
（2）在網(wǎng)格上畫出△AOB關于y軸對稱的圖形；
（3）在網(wǎng)格上畫出將△AOB三個頂點的橫、縱坐標均擴大為原來的2倍后的圖形，并求出變換后圖形的周長等于______；若把△AOB頂點的橫、縱坐標均擴大為原來的n倍，試猜想變換后圖形的周長等于______。

如圖，在1010正方形網(wǎng)格中作圖：

（1）作出△ABC關于直線的軸對稱圖形△A₁B₁C₁；
（2）作出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的圖形△A₂B₂C₂.

如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點P在對角線BD上運動（B、D兩點除外），線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)m°(0＜m°＜180º） 得線段PQ.
 
（1）當點Q與點D重合，請在圖中用尺規(guī)作出點P所處的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若點Q落在邊CD上（C點除外），且∠ADB=n°.
①探究m與n之間的數(shù)量關系；
②當點P在線段OB上運動時，存在點Q，使PQ=QD，直接寫出n的取值范圍.

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點（不包括射線的端點）.如圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.
研究：

（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系？并結合如圖2加以證明；
（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長；若不能，請說明理由；
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB＝1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關系？并結合如圖4加以證明.

下面三圖是由三個相同的小正方形拼成的圖形，請你在A，B，C三圖中再添加一個同樣大小的小正方形，使所得的新圖形分別為下列要求的圖形，請畫出示意圖.

（1）是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；
（2）是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
（3）既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．

（1）當點C₁在線段CA的延長線上時，如圖1，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接AA₁，CC₁，若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；
（3）點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P₁，求線段EP₁長度的最大值與最小值．