【題目】如圖，在中，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接．

求證:；

當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；

點(diǎn)是的外心，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)恰好在內(nèi)部或邊上時(shí)，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)，

根據(jù)以上信息回答下列問題:

(1)訓(xùn)練后學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表中,并補(bǔ)充完成下表:

(2)若跳遠(yuǎn)成績(jī)9分及以上為優(yōu)秀,估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?

(3)經(jīng)調(diào)查,經(jīng)過訓(xùn)練后得到9分的五名同學(xué)中,有三名男生和兩名女生,王老師要從這五名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)寫出訓(xùn)練報(bào)告,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率.

（1）求第五個(gè)臺(tái)階上的數(shù)x是多少？

（2）求前21個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的和是多少？

（3）發(fā)現(xiàn)：數(shù)的排列有一定的規(guī)律，第n個(gè)﹣2出現(xiàn)在第　 　個(gè)臺(tái)階上；

（4）拓展：如果倩倩小同學(xué)一步只能上1個(gè)或者2個(gè)臺(tái)階，那么她上第一個(gè)臺(tái)階的方法有1種：1＝1，上第二個(gè)臺(tái)階的方法有2種：1+1＝2或2＝2，上第三個(gè)臺(tái)階的方祛有3種：1+1+1＝3、1+2＝3或2+1＝3，…，她上第五個(gè)臺(tái)階的方法可以有　 　種．

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，圓心角是扇形按圖中的方式擺放，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著“半徑弧弧半徑半徑...”的曲線運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，在弧線上運(yùn)動(dòng)的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)第秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(為自然數(shù))，則的坐標(biāo)是___________________；的坐標(biāo)是_____________________．

方程中的和表示的意義，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A.表示甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度B.表示乙隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度

C.表示甲隊(duì)修米所用的時(shí)間D.表示乙隊(duì)修米所用的時(shí)間

A.平均數(shù)變小，方差變小B.平均數(shù)變大，方差變大

C.平均數(shù)變大，方差不變D.平均數(shù)變大，方差變小

（1）概念理解：

如圖1，四邊形中，為的中點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，滿足，試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線，并說明理由．

（2）問題探究：

如圖2，中，，，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以每秒6個(gè)單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．為線段上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．問為何值時(shí)，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3，為四邊形的準(zhǔn)中位線，，延長(zhǎng)分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中與相等的角并證明．

【題目】為了更好地做好復(fù)課準(zhǔn)備，某班家委會(huì)討論決定購(gòu)買兩種型號(hào)的口罩供班級(jí)學(xué)生使用，已知型口罩每包價(jià)格元，型口罩每包價(jià)格比型少4元，180元錢購(gòu)買的型口罩比型口罩少12包．

（1）求的值；

（2）經(jīng)與商家協(xié)商，購(gòu)買型口罩價(jià)格可以優(yōu)惠，其中每包價(jià)格（元）和購(gòu)買數(shù)量（包）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，型口罩一律按原價(jià)銷售．

①求關(guān)于的函數(shù)解析式；

②若家委會(huì)計(jì)劃購(gòu)買型、型共計(jì)100包，其中型不少于30包，且不超過60包．問購(gòu)買型口罩多少包時(shí)，購(gòu)買口罩的總金額最少，最少為多少元？

【題目】如圖，的網(wǎng)格中，均在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無刻度的直尺作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（1）在圖1中找一格點(diǎn)，使得為等腰三角形（找到一個(gè)即可）；

（2）在圖2中作出的角平分線．

【題目】疫情期間部分學(xué)生選擇在家用電視觀看網(wǎng)絡(luò)課程，為了保護(hù)眼睛，電視機(jī)的安裝高度有一定的要求．如圖所示，小嘉家的壁掛電視機(jī)的安裝高度為1米，電視的中心位置（的中點(diǎn)）比平視視線低（這樣觀看眼睛最不容易疲勞），電視機(jī)寬度為，眼到凳子平面的高度為．

（1）求小嘉應(yīng)選用凳子的高度；

（2）若看電視的視角為時(shí)，觀看感最好，求此時(shí)凳子中心到墻的距離（電視機(jī)的厚度忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）