Question

【題目】已知函數(shù)φ(x)＝，a為正常數(shù)．

(Ⅰ)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝4，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且對(duì)任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2都有

(ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(ⅱ)求證：當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ) (ⅰ) ； (ⅱ)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2）設(shè)h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數(shù)．(ⅰ)下面對(duì)x分類討論：①當(dāng)1≤x≤2時(shí)，②當(dāng)0<x<1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從及最值，即可求得求a的取值范圍．

(ⅱ) h(x)在(0，2]上是減函數(shù)，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2，由a的范圍放縮得：g(x)≥ln 2＋＋2－x，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)T(x)＝ln 2＋＋2－x，利用單調(diào)性即可證得.

試題解析：

(Ⅰ)當(dāng)a＝4時(shí)，f(x)＝ln x＋，定義域?yàn)?0，＋∞)，

又f′(x)＝－＝≥0，

所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(Ⅱ)因?yàn)?/span><－1，

所以＋1<0， <0 .

設(shè)h(x)＝g(x)＋x，依題意，h(x)在(0，2]上是減函數(shù)，h′(x)≤0恒成立．

(ⅰ)①當(dāng)1≤x≤2時(shí)，h(x)＝ln x＋＋x，h′(x)＝－＋1≤0.

從而，a≥＋(x＋1)2＝x2＋3x＋＋3對(duì)x∈[1，2]恒成立．

設(shè)m(x)＝x2＋3x＋＋3，x∈[1，2]，則m′(x)＝2x＋3－>0.

所以m(x)在[1，2]上是增函數(shù)，則當(dāng)x＝2時(shí)，m(x)有最大值為，所以a≥.

②當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)＝－ln x＋＋x，h′(x)＝－－＋1≤0.

從而，a≥－＋(x＋1)2＝x2＋x－－1.

設(shè)t(x)＝x2＋x－－1，則t′(x)＝2x＋1＋>0，

所以t(x)在(0，1)上是增函數(shù)．所以t(x)<t(1)＝0，所以a≥0.

綜合①②，又因?yàn)?/span>h(x)在(0，2]上圖形是連續(xù)不斷的，所以a≥.

(ⅱ)因?yàn)?/span>h(x)在(0，2]上是減函數(shù)，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2.

由(ⅰ)得，a≥，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2≥ln 2＋＋2，

∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立．

從而g(x)≥ln 2＋＋2－x.

令T(x)＝ln 2＋＋2－x，則T(x)在(0，2]上單調(diào)遞減．

∴T(x)≥T(2)＝ln 2＋.

∴T(x)≥ln 2＋.