Question

5．已知二次函數f（x）滿足f（2x）+f（x+1）=5x²-x+4；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）+m=3x-1在區(qū)間（0，3）上總有兩個不相等的實數根，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，根據條件化簡等式列出方程組，求出a、b、c的值，可得f（x）；
（2）由（1）化簡方程f（x）+m=3x-1，將方程的根問題轉化為：函數g（x）=x²$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m在（0，3）上總有兩個不同的零點，根據二次函數的圖象和條件列出不等式組，求出m的范圍．

解答 解：（1）設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（2x）+f（x+1）=5x²-x+4
∴4ax²+2bx+c+a（x+1）²+b（x+1）+c=5x²-x+4
則5ax²+3bx+a+b+2c=5x²-x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a=5}\\{3b=-1}\\{a+b+2c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-\frac{1}{3}}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²$-\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
（2）由（1）得，方程f（x）+m=3x-1為x²$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m=0，
∵方程f（x）+m=3x-1在（0，3）上總有兩個不相等的實數根，
∴函數g（x）=x²$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m在（0，3）上總有兩個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={（-\frac{10}{3}）}^{2}-4×（\frac{8}{3}+m）＞0}\\{g（0）=\frac{8}{3}+m＞0}\\{g（3）=9-10+\frac{8}{3}+m＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{5}{3}＜m＜-\frac{1}{9}$，
則實數m的范圍是$（-\frac{5}{3}，-\frac{1}{9}）$．

點評 本題考查利用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，以及方程的根與函數零點之間的轉化，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．