Question

19．定積分${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（　�。�

• A． 1
• B． π
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 令x=sint，把${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-{x}^{2}}$dx等價(jià)轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[1-cos（2t）]gt$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：令x=sint，
則${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}tdt$
=$\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[1-cos（2t）]gt$
=$\frac{1}{2}t{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}-\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}cos（2t）dt$
=$\frac{1}{2}π-\frac{1}{4}sin（2t）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{π}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定積分的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意換元法和三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．