【題目】如圖,已知四邊形和均為平行四邊形,點在平面內(nèi)的射影恰好為點,以為直徑的圓經(jīng)過點,,的中點為,的中點為,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析: (Ⅰ)推導出平面,從而平面平面,從而,再求出,從而平面 ,由此能證明平面平面.(Ⅱ)以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)∵點在平面內(nèi)的射影恰好為點,∴平面,
又平面,∴平面平面.
又以為直徑的圓經(jīng)過點,,,∴為正方形.
又平面平面,∴平面.
∵平面,,
又,∴,
又的中點為,∴,
∵,∴,
又平面,平面,,∴平面.
又平面,∴平面平面.
(Ⅱ)如圖,建立以為原點,的方向為軸的正方向,的方向為軸的正方向,的方向為軸的正方向的空間直角坐標系,
設,則,,,.
∵的中點為,∴,
故,,
設平面的法向量為,則∴
令,則.
易知平面的一個法向量為,
設二面角為,
∴,
容易看出二面角為銳角,故二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的離心率,橢圓C上的點到其左焦點的最大距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點A作直線與橢圓相交于點B,則軸上是否存在點P,使得線段,且?若存在,求出點P坐標;否則請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一所學校計劃舉辦“國學”系列講座.由于條件限制,按男、女生比例采用分層抽樣的方法,從某班選出10人參加活動.在活動前對所選的10名同學進行了國學素養(yǎng)測試,這10名同學的性別和測試成績(百分制)的莖葉圖如圖.
(1)根據(jù)這10名同學的測試成績,估計該班男、女生國學素養(yǎng)測試的平均成績;
(2)若成績大于等于75分為優(yōu)良,從這10名同學中隨機選取2名男生,2名女生,求這4名同學的國學素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知極坐標系的極點為直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同,圓的直角坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),射線的極坐標方程為.
(1)求圓和直線的極坐標方程;
(2)已知射線與圓的交點為,與直線的交點為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】棋盤上標有第0、1、2...100站,棋子開始位于第0站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99站或第100站時,游戲結束.設棋子位于第n站的概率為,設.則下列結論正確的有( )
①;;
②數(shù)列()是公比為的等比數(shù)列;
③;
④.
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知函數(shù),,是實數(shù).
(Ⅰ)若在處取得極值,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間為增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,函數(shù)有三個零點,求的取值范圍.
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