如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是等邊三角形，AB∥CD，AB=2CD，BC⊥CD，∠DBC=30°，點E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．
（1）求證：CF∥平面PAD；
（2）求證：平面PEB⊥平面ABCD．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）取PA中點G，連結FG，DG，由已知得四邊形CDGF是平行四邊行，由此能證明CF∥平面PAD．
（2）由已知得三角形ABD也是等邊三角形，PE⊥AD，BE⊥AD，由此能證明平面ABCD⊥平面PEB．
解答： 證明：（1）取PA中點G，連結FG，DG，
因為F分別為AD、PB的中點，
所以可得FG∥AB且AB=2FG，
又因為AB∥CD，AB=2CD，
所以FG∥CD，F(xiàn)G=CD
即四邊形CDGF是平行四邊形，
所以CF∥DG，因為DG在平面PAD內(nèi)
所以CF∥平面PAD．
（2）因為BC⊥CD，∠DBC=30°，
得BD=2CD，∠BDC=60°，
又由于AB∥CD，可得∠DBA=∠BDC=60°
又由于AB=2CD，可得AB=BD，
所以三角形ABD也是等邊三角形．
因為E為AD的中點，所以有PE⊥AD，BE⊥AD，
即有AD⊥平面PEB
所以平面ABCD⊥平面PEB．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的一次函數(shù)y=kx+b．
（Ⅰ）設集合P={-2，-1，2，3}和Q={-2，2，3}，其中k∈P，b∈Q，求函數(shù)y=kx+b在R上是增函數(shù)的概率；
（Ⅱ）實數(shù)k，b滿足條件
k+b-1≤0
-1≤k≤1
-1≤b≤1
，求函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、三、四象限的概率（邊界及坐標軸的面積忽略不計）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合S={x|x＞2}，T={x|x2-x-12≤0}，則S∩T=（　�。�
A、[3，+∞）
B、[4，+∞）
C、（2，3]
D、（2，4]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知lnx=2+ln（
2
x
），求x．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，將一副三角板拼接，使他們有公共邊BC，且使這兩個三角形所在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．
（1）證明：平面ADC⊥平面ADB；
（2）求B到平面ADC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F且斜率為-1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若
AB
=-3
AF
，則雙曲線C的離心率e=（　�。�
A、
10
3
B、
5
2
C、
5
D、
34
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校舉行12•9愛國知識競賽，競賽規(guī)則是：每位選手有兩種方式可供選擇：方式一：回答三個關于12•9的歷史知識試題；方式二：回答兩個社會主義核心價值觀的綜合試題．方式一答對一個得3分，答錯得0分；方式二答對一個得2分，答錯得0分．已知小李在兩種方式中答對每題的概率分別是
1
4
和p（0＜p＜1）．
（1）若小李選擇方式一，求小李至少得3分的概率；
（2）若將兩種方式得分的數(shù)學期望高者作為選擇的標準，如果小李最終選擇了方式二，求p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={y|y=x2-2x+2，-1≤x≤2}，B={x|
2x-7
x-3
＞1}}，若任取x∈A，則x∈A∩B的概率為（　�。�
A、
2
3
B、
1
3
C、
3
4
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出結果是a=341，那么判斷框內(nèi)應填的條件為
 

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