Question

5．已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n，b_n=a_n+1-a_n，
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2=3a_n+1-2a_n，變形為：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），可得b_n+1=2b_n，b₁=a₂-a₁=2，即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ．利用“累加求和”方法即可得出．

解答 （1）證明：由a_n+2=3a_n+1-2a_n，變形為：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=2b_n，b₁=a₂-a₁=2，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為2．
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ．
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2ⁿ+2^n-1+…+2+1
=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1．
∴a_n=2ⁿ-1，n=1時也成立．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．