Question

某市為了治理大氣環(huán)境，盡量控制汽車尾氣對(duì)空氣的污染，減少霧霾．一方面鼓勵(lì)和補(bǔ)貼購買小排量汽車的消費(fèi)者，同時(shí)在主城區(qū)采取對(duì)新車限量上號(hào)政策．已知該市2013年年初汽車擁有量為x₁=100（單位：萬輛），第n年（2013年為第1年，2014年為第2年，…）年初的擁有量記為x_n（單位：萬輛），該年度汽車的年增長(zhǎng)量y_n（單位：萬輛）滿足y_n=λx_n（1-

xn

200

），其中λ為常數(shù)，且λ∈（0，1）．
（1）若λ=

1

2

，問：第幾年該市汽車的年增長(zhǎng)量y_n最多，最多是多少萬輛？
（2）該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi)？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題y_n=

1

2

x_n（1-

xn

200

）=-

1

400

（x_n-100）²+25，由此能求出第一年該市汽車的年增長(zhǎng)量y_n最多，最多是25萬輛．
（2）由xn+1=xn+λxn(1-

xn

200

)，得按該政策可以將該市汽車總擁有量控制在200萬輛內(nèi)，即x_n≤200．由已知條件利用數(shù)學(xué)歸納法能證明出該市汽車總擁有量能控制在200萬輛內(nèi)．

解答： 解：（1）依題y_n=

1

2

x_n（1-

xn

200

）
=

1

2

xn-

xn2

400

=-

1

400

（x_n²-200x_n）
=-

1

400

（x_n-100）²+25
≤25．
當(dāng)且僅當(dāng)x_n=100時(shí)，取等號(hào)，
∴第一年該市汽車的年增長(zhǎng)量y_n最多，最多是25萬輛．
（2）∵x_n+1=x_n+y_n，∴xn+1=xn+λxn(1-

xn

200

)，
按該政策可以將該市汽車總擁有量控制在200萬輛內(nèi)，即x_n≤200．證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，x₁=100，成立．
假設(shè)n=k時(shí)，x_k≤200成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk+λxk(1-

xk

200

)是關(guān)于x_k的一個(gè)二次函數(shù)，
令f（x）=-

λ

200

x2+(1+λ)x，x≤200，
其對(duì)稱軸x=

100(1+λ)

λ

＞200，
∴f（x）在（0，200）內(nèi)遞減，f（x）＜f（200）=200，即x_k+1≤200．
綜上所述，x_n≤200成立．即該市汽車總擁有量能控制在200萬輛內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸思想、函數(shù)思想的合理運(yùn)用．