Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，且|AB|=4，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q（4，0），若點P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點M．判斷是否存在點P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）假設(shè)存在點P，使得四邊形APQM為梯形．由題意知，顯然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，$\frac{|BQ|}{|AB|}=\frac{|BM|}{|BP|}$，$\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$．設(shè)點M（x₁，y₁），P（4，t），過點M作MH⊥AB于H，可得$\frac{|BH|}{|BQ|}=\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，解得x₁，代入橢圓方程，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．
又因為$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以c=1，所以b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）假設(shè)存在點P，使得四邊形APQM為梯形．
由題意知，顯然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，
所以$\frac{|BQ|}{|AB|}=\frac{|BM|}{|BP|}$，所以$\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$．
設(shè)點M（x₁，y₁），P（4，t），
過點M作MH⊥AB于H，則有$\frac{|BH|}{|BQ|}=\frac{|BM|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，
所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x₁=1，
代入橢圓方程，求得${y_1}=±\frac{3}{2}$，
所以P（4，±3）．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．