Question

8．我國科研人員屠呦呦發(fā)現(xiàn)從青篙中提取的青篙素抗瘧性超強，幾乎達到100%，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f（t）；
（2）據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于$\frac{1}{9}$微克時，治療有效，求服藥一次后治療有效的時間是多長？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象，設$y=\left\{\begin{array}{l}{kt}&{0≤t≤1}\\{（\frac{1}{3}）^{t-a}}&{t＞1}\end{array}\right.$，根據(jù)t=1，y=9即可求出k和a，從而得出函數(shù)關系式y(tǒng)=f（t）；
（2）根據(jù)y$≥\frac{1}{9}$即可求出t的取值范圍，從而求出治療有效的時間長．

解答 解：（1）設$y=\left\{\begin{array}{l}kt，0≤t≤1\\{（{\frac{1}{3}}）^{t-a}}，t＞1\end{array}\right.$，
當t=1時，由y=9得k=9，由${（{\frac{1}{3}}）^{1-a}}=9$得a=3；
∴$y=\left\{\begin{array}{l}9t，0≤t≤1\\{（{\frac{1}{3}}）^{t-3}}，t＞1\end{array}\right.$；
（2）由$y≥\frac{1}{9}$得$\left\{\begin{array}{l}0≤t≤1\\ 9t≥\frac{1}{9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}t＞1\\{（{\frac{1}{3}}）^{t-3}}≥\frac{1}{9}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{81}≤t≤5$；
∴服藥一次后治療有效的時間長是$5-\frac{1}{81}=4\frac{80}{81}$小時．

點評 考查分段函數(shù)的概念及表示，待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法，以及對數(shù)的運算．