Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,坐標(biāo)原點(diǎn)為.橢圓的動(dòng)弦過右焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸， 的中點(diǎn)為,過且垂直于線段的直線交射線于點(diǎn)

(I)證明:點(diǎn)在直線上;

(Ⅱ)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),求的面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)所在直線為： ，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得，得到，從而和所在直線方程，聯(lián)立方程組解得，即可證得點(diǎn)在直線上.

（Ⅱ）由點(diǎn)是的中點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，

由（Ⅰ）知的坐標(biāo)，求得的值，得到，利用弦長公式和兩點(diǎn)的距離公式分別求得 ，即可求得的面積．

試題解析：

（Ⅰ）易知，設(shè)所在直線為： ， ，

聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得

由韋達(dá)定理得， ，

則，從而所在直線方程為

又所在直線方程為，聯(lián)立兩直線方程解得.

所以點(diǎn)在直線上.

（Ⅱ）∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形 ∴點(diǎn)是的中點(diǎn)

由（Ⅰ）知， ，則

此時(shí)

.

從而.