如圖,正方體AC1的棱長(zhǎng)為1,連結(jié)AC1,交平面A1BD于H,有以下四個(gè)命題:
①AC1⊥平面A1BD,
②H是△A1BD的垂心,
③AH=
3
3

④直線AH和BB1所成的角為45°.
則上述命題中,是真命題的有
 
.(填命題序號(hào))
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:①由正方體的性質(zhì)可得:AC1⊥BD,AC1⊥A1B,利用線面垂直的判定定理即可得出;
②H是等邊△A1BD的中心,可得H是△A1BD的垂心;
③由VA-BDA1=VA1-ABD即可得出AH=
3
3
;
④直線AH即AC1和BB1(即AA1)所成的角θ滿足:tanθ=
2
,即可判斷出.
解答: 解:①由正方體的性質(zhì)可得:AC1⊥BD,AC1⊥A1B,而BD∩A1B=B,∴AC1⊥平面A1BD,正確;
②H是等邊△A1BD的中心,因此是△A1BD的垂心,正確;
③由VA-BDA1=VA1-ABD,∴
1
3
•AH•
3
4
×(
2
)2
=
1
3
×
1
2
×12×1
,解得AH=
3
3
,正確;
④直線AH即AC1和BB1(即AA1)所成的角θ滿足:tanθ=
2
,因此不是45°,不正確.
綜上可得:只有①②③正確.
故答案為:①②③.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方體的對(duì)角線的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、異面直線所成的角、等邊三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合P={x|f(x)=0},Q={x|g(x)=0},則集合M={x|f(x)g(x)=0}可表示為( 。
A、PB、P∪Q
C、P∩QD、以上答案都不對(duì)

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已知在△ABC中,∠A,
1
2
∠B,∠C成等差數(shù)列,最大邊長(zhǎng)為x,最小邊長(zhǎng)為1
(Ⅰ)求sinA+sinC的最大值;
(Ⅱ)用λ(x)表示△ABC的周長(zhǎng)與面積的比,求λ(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若m<n,則
3
4
(n-m)
 
0.(填“>”、“<”或“=”)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列各函數(shù)中,其圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)的是( 。
A、y=x2+1
B、y=
1
x
C、y=3x
D、y=log2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=2sinx(0≤x≤п)的圖象為曲線C,動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在曲線C上,過A且平行于x軸的直線交曲線C于點(diǎn)B(A、B可以重合),設(shè)線段AB的長(zhǎng)為f(x),則函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩定點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),若直線上存在點(diǎn)P,使得|PM|+|PN|=4,則稱該直線為“A型直線”,給出下列直線:①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3,其中是“A型直線”的有
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四面體S-ABC中,SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=
5
,AC=
3
,則該四面體的外接球的表面積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:(
1
cos2140°
-
3
sin2140°
)•
1
2sin10°
=
 

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