Question

12．（1）已知不等式ax²+2x+c＞0的解集為{x|-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，解不等式cx²-2x+a＜0．
（2）已知當(dāng)x＞0時，不等式x²-mx+4＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系，求出a，c的值，在求解解不等式cx²-2x+a＜0即可．
（2）采用“分離參數(shù)法”，再利用基本不等式求其最值即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：不等式ax²+2x+c＞0的解集為{x|-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，可知：a＜0，
且方程ax²+2x+c=0的兩根為${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，${x}_{2}=\frac{1}{2}$
由根與系數(shù)的關(guān)系得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{a}}\\{-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，解得：a=-12，c=2．
則：不等式cx²-2x+a＜0可化為x²-x-6＜0，
解得：-2＜x＜3．
所以不等式的解集為：{x|-2＜x＜3}
（2）解：依題意，當(dāng)x＞0時，x²-mx+4＞0恒成立等價于不等式$m＜x+\frac{4}{x}$恒成立，
設(shè)$f（x）=x+\frac{4}{x}，x＞0$
只需m＜f（x）_min
又$f（x）=x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{4}{x}$即x=2時f（x）_min=4．
從而m的取值范圍為（-∞，4）．

點評 本題考查一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系，考查了“分離參數(shù)法”，與基本不等式的運用解決恒成立的問題．屬于基礎(chǔ)題．