Question

2．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N^*）個元素構(gòu)成集合A_m．若A_m的所有元素之和為偶數(shù)，則稱A_m為A的偶子集，其個數(shù)記為f（m）；若A_m的所有元素之和為奇數(shù)，則稱A_m為A的奇子集，其個數(shù)記為g（m）．令F（m）=f（m）-g（m）．
（1）當(dāng)n=2時，求F（1），F(xiàn)（2），F(xiàn)（3）的值；
（2）求F（m）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件利用列舉法能F（1），F(xiàn)（2），F(xiàn)（3）；
（2）分m為奇數(shù)和m為偶數(shù)兩種情況，再根據(jù)二項式定理和排列組合的知識即可求出答案．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時，集合為{1，2，3，4}，
當(dāng)m=1時，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）=2，g（1）=2，F(xiàn)（1）=0；
當(dāng)m=2時，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，
f（2）=2，g（2）=4，F(xiàn)（2）=-2；        
當(dāng)m=3時，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，
f（3）=2，g（3）=2，F(xiàn)（3）=0；　　   
（2）當(dāng)m為奇數(shù)時，偶子集的個數(shù)f（m）=C_n⁰C_n^m+C_n²C_n^m-2+C_n⁴C_n^m-4+…+C_n^m-1C_n¹，
奇子集的個數(shù)g（m）=C_n¹C_n^m-1+C_n³C_n^m-3+…+C_n^mC_n⁰，
所以f（m）=g（m），F(xiàn)（m）=f（m）-g（m）=0．　   
當(dāng)m為偶數(shù)時，偶子集的個數(shù)f（m）=C_n⁰C_n^m+C_n²C_n^m-2+C_n⁴C_n^m-4+…+C_n^mC_n⁰，
奇子集的個數(shù)g（m）=C_n¹C_n^m-1+C_n³C_n^m-3+…+C_n^m-1C_n¹，
所以F（m）=f（m）-g（m）=C_n⁰C_n^m-C_n¹C_n^m-1+C_n²C_n^m-2-C_n³C_n^m-3+…-C_n^m-1C_n¹+C_n^mC_n⁰，
一方面，（1+x）^m（1-x）^m=（C_m⁰+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m）[C_m⁰-C_m¹x+C_m²x²+…+（-1）^mC_m^mx^m]
所以，（1+x）^m（1-x）^m中x^m的系數(shù)為C_m⁰C_m^m-C_m¹C_m^m-1+C_m²C_m^m-2-C_m³C_m^m-3+…-C_m^m-1C_m¹+C_m^mC_m⁰，
另一方面，（1+x）^m（1-x）^m=（1-x²）^m，（1-x²）^m中x^m的系數(shù)為（-1）${\;}^{\frac{m}{2}}$${C}_{m}^{\frac{m}{2}}$，
故f（m）=（-1）${\;}^{\frac{m}{2}}$${C}_{m}^{\frac{m}{2}}$，
綜上，F(xiàn)（m）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{\frac{m}{2}}{C}_{m}^{\frac{m}{2}}，m為偶數(shù)}\\{0，m為奇數(shù)}\end{array}\right.$

點評 本題考查了子集的個數(shù)問題，以及排列組合和二項式定理，培養(yǎng)可學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，考查了學(xué)生的分類討論，轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題．