Question

6．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長為$\sqrt{2}$的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F(xiàn)為DE中點，且DE=1．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求證：CD⊥DE；
（Ⅲ）求FC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BD和AC交于O，連結(jié)OF，由中位線定理得出BE∥OF，故BE∥平面ACF；
（II）由面面垂直的性質(zhì)得出AE⊥平面CDE，故而AE⊥CD，又CD⊥AD，于是CD⊥平面ADE，從而CD⊥DE；
（III）過F作FM⊥AD于M，連接CM．則可證FM⊥平面ABCD，于是∠FCM為所求的線面角，利用勾股定理和相似三角形求出CF，F(xiàn)M，得出sin∠FCM．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD和AC交于O，連結(jié)OF，
∵ABCD為正方形，∴O為BD中點，
∵F為DE中點，
∴OF∥BE，又∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF． 
（Ⅱ）∵平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，平面AEC∩平面CDE=CE，
∴AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵ABCD為正方形，∴CD⊥AD，
又∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，∵DE?平面DAE，
∴CD⊥DE．
（Ⅲ）過F作FM⊥AD于M，連接CM．
由（II）得CD⊥平面DAE，CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面DAE，
又∴平面ABCD∩平面DAE=AD，F(xiàn)M⊥AD，
∴FM⊥平面ABCD，
∴∠FCM為FC與平面ABCD所成角，
∴$AD=CD=\sqrt{2}$，DF=$\frac{1}{2}$，DE=1，∴$FC=\frac{3}{2}$，AE=1，$\frac{FM}{AE}=\frac{DF}{AD}$，∴FM=$\frac{AE•DF}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$sin∠FCM═\frac{FM}{FC}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的作法與計算，屬于中檔題．