Question

11．在一住宅小區(qū)里，有一片空地，這塊空地可能有兩種情況：
（1）是半徑為10m的半圓；
（2）是半徑為10m，圓心角為60°的扇形；現(xiàn)在要在這塊空地里種植一塊矩形的草皮，使得其一邊在半徑上，應如何設計使得草皮面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形面積公式和二倍角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值，
（2）根據(jù)矩形面積公式和兩角和差的正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值，

解答 解：（1）方案一：如圖1，連接OC，設∠COB=θ，
則CB=COsinθ=10sinθ，OB=COcosθ=10cosθ，
則AB=20cosθ，
S=AB•BC=100sin2θ，
當θ=45°時，S_max=100，
（2）方案二：如圖2
連接OC，設∠BOC=θ，則AD=CB=10sinθ，OB=10cosθ
OA=$\frac{AD}{tan60°}$=10sinθ•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則AB=OB-OA=10cosθ-10sinθ•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S=AB•BC=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$，
當∠DOC=θ=30°時，S_max=$\frac{50\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了解三角形在幾何中的應用，關鍵是構造函數(shù)三角函數(shù)，屬于中檔題．