Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{tanα}$+$\frac{y^2}{{{{tan}^2}α+1}}$=1，其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），則橢圓形狀最圓時的方程為（　　）

• A． ${x^2}+\frac{y^2}{6}=1$
• B． ${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． ${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$
• D． ${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 由題意可知設(shè)條件推導(dǎo)出tanα＞0，橢圓E的長軸在y軸上，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，求得離心率的最小值，由此能求出橢圓方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{tanα}$+$\frac{y^2}{{{{tan}^2}α+1}}$=1，其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanα＞0，且tan²α+1＞tanα，
故橢圓E的長軸在y軸上．
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{tanα}{tanα+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}sin2α}$≥$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時取等號．
由于橢圓E的離心率e最小時其形狀最圓，
∴最圓的橢圓方程：x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
故答案為：D．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．