Question

19．設(shè)函數(shù)$f（x）={log_2}（4x）•{log_2}（2x），\frac{1}{4}≤x≤4$．
（1）若t=log₂x，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出t的范圍；?
（2）求f（x） 的最值，并給出最值時(shí)相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得y=（2+t）•（1+t），再根據(jù)x的范圍，求得t的范圍．
（2）根據(jù)y=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y在[-2，2]上的最值，以及取得最值時(shí)相應(yīng)的x值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）={log_2}（4x）•{log_2}（2x），\frac{1}{4}≤x≤4$，
若t=log₂x，則y=（2+log₂x）•（1+log₂x）=（2+t）•（1+t）=t²+3t+2，
∵$\frac{1}{4}$≤x≤4，∴-2≤t≤2，故關(guān)于t的函數(shù)解析式為y═t²+3t+2 （-2≤t≤2 ）．
（2）∵y=f（x）=t²+3t+2=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
函數(shù)y在[-2，-$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
故在在[-2，2]上，當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-1，此時(shí)，x=2$\sqrt{2}$；
當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)y取得最大值為12，此時(shí)，x=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．