Question

11．已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點，A是相應(yīng)的頂點，P是y軸上的點，滿足∠FPA=α，則雙曲線的離心率的最小值為$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．

Answer 1

分析 設(shè)F為雙曲線的左焦點，且為（-c，0），左頂點A（-a，0），設(shè)|OP|=h，則tanα=tan（∠FPO-∠APO），運用兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式，得到e的不等式解得e即可，再由同角公式化簡即可得到．

解答 解：F為雙曲線的左焦點，且為（-c，0），左頂點A（-a，0），
設(shè)|OP|=h，
則tanα=tan（∠FPO-∠APO）=$\frac{tan∠FPO-tan∠APO}{1+tan∠FPOtan∠APO}$
=$\frac{\frac{c}{h}-\frac{a}{h}}{1+\frac{ac}{{h}^{2}}}$=$\frac{c-a}{h+\frac{ac}{h}}$，
由于h+$\frac{ac}{h}$≥2$\sqrt{ac}$，當且僅當h=$\sqrt{ac}$時，取等號．
即有tanα≤$\frac{c-a}{2\sqrt{ca}}$，
即2tanα≤$\sqrt{\frac{c}{a}}$-$\sqrt{\frac{a}{c}}$，
即有2tanα≤$\sqrt{e}$-$\sqrt{\frac{1}{e}}$，即e-2$\sqrt{e}$tanα-1≥0，
即$\sqrt{e}$≥tanα+$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$，
即有e≥（$\frac{1+sinα}{cosα}$）²=$\frac{（1+sinα）^{2}}{co{s}^{2}α}$=$\frac{（1+sinα）^{2}}{1-si{n}^{2}α}$
=$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．
當且僅當h=$\sqrt{ac}$時，e的最小值為$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．
故答案為：$\frac{1+sinα}{1-sinα}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查基本不等式的運用，運用兩角差的正切公式是解題的關(guān)鍵．