Question

15．已知數(shù)列滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．則通項公式為a_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 由a₁=1，a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2（a_n+1）⇒數(shù)列{a_n+1}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，又a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
故答案為：a_n=2ⁿ-1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的判定與其通項公式的應用，考查等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．