Question

10．已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且滿足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=0$，則$\overrightarrow{AB}•\;\overrightarrow{OA}$=（　�。�

• A． $-\frac{15}{4}$
• B． $-\frac{7}{4}$
• C． $\frac{7}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 先將一個向量用其余兩個向量表示出來，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，則才好用上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，容易化簡出要求的結(jié)果．

解答 解：$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=0$，
∴$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=-4$\overrightarrow{OC}$，
∴（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）²=（-4$\overrightarrow{OC}$）²，
∴|$\overrightarrow{OA}$|²+4|$\overrightarrow{OB}$|²+4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=16|$\overrightarrow{OC}$|²，
∵△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴1+4+4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=16，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{11}{4}$
∴$\overrightarrow{AB}•\;\overrightarrow{OA}$=（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-|$\overrightarrow{OA}$|²=$\frac{11}{4}$-1=$\frac{7}{4}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查了平面向量在幾何問題中的應(yīng)用．要利用向量的運(yùn)算結(jié)合基底意識，將結(jié)論進(jìn)行化歸，從而將問題轉(zhuǎn)化為基底間的數(shù)量積及其它運(yùn)算問題．