Question

已知f（x）=

2x

x2+6

．
（1）若f（x）＞k的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若對(duì)任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，把f（x）＞k化為kx²-2x+6k＜0，由不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值；（2）化簡(jiǎn)f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t時(shí)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）＞k，
∴

2x

x2+6

＞k；
整理得kx²-2x+6k＜0，∵不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，
∴方程kx²-2x+6k=0的兩根是-3，-2；
由根與系數(shù)的關(guān)系知，
-3+（-2）=

2

k

，
即k=-

2

5

；
（2）∵x＞0，
∴f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

6

時(shí)取等號(hào)；
又∵f（x）≤t對(duì)任意x＞0恒成立，
∴t≥

6

6

，
即t的取值范圍是[

6

6

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．