Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²e^x．
（1）求f（x）在（-∞，0）上的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最小值為m，當(dāng)x＞0時(shí)，試比較$m-\frac{1}{2}$與lnx-2x+1的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系可求出m的值，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-2x+1，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可比較大�。�

解答 解：（1）f'（x）=（x²+2x）e^x，
∵當(dāng)x＜-2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0；f（x）遞減，
∴f（x）在（-∞，0）上的最大值為$f（{-2}）=\frac{4}{e^2}$．
（2）∵當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）在（-1，+∞）上的最小值為f（0）=0，
∴m=0．
設(shè)g（x）=lnx-2x+1，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即0＜x＜$\frac{1}{2}$，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即x＞$\frac{1}{2}$，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{2}$+1=ln$\frac{1}{2}$=-ln2＜-ln$\sqrt{e}$=-$\frac{1}{2}$，
∵m-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$
∴$m-\frac{1}{2}$＞lnx-2x+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．