Question

4．如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AC交BC于點O，△SBD是邊長為2的正三角形，SA=$\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別是CD，SB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面SAD；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面SAC；
（Ⅲ）求直線AB與平面SBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）：取SA得中點為G，連接GD，GF，可得四邊形DEFG為平行四邊形，即可證得EF∥面SAD．
 （Ⅱ）連接SO，只需證明SO⊥BO．，AC⊥BD．可證得BD⊥平面SAC．
（Ⅲ） 過A作AH⊥SO與H，可得ABH就是AB與平面SBD所成角．
 在Rt△ABH中，sin$∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{4}$．即得直線AB與平面SBD所成角的正弦值為$\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）證明：取SA得中點為G，連接GD，GF，
∵E，F(xiàn)分別是CD，SB的中點．∴GF∥AB，GF=$\frac{1}{2}$AB，DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB．
∴GF∥DE，GF=DE，∴四邊形DEFG為平行四邊形．
∵DG?面SAD，EF?面SAD，∴EF∥面SAD．


（Ⅱ）證明：連接SO，因為，△SBD是邊長為2的正三角形，O為中點，∴SO⊥BO．
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又SO∩AC=O，∴BD⊥平面SAC．
（Ⅲ）如圖2過A作AH⊥SO與H，由（Ⅱ）得面SAC⊥面SDB．
∴AH⊥面SDB，∴∠ABH就是AB與平面SBD所成角．
四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，△SBD是邊長為2的正三角形，∴AB=2，AO=SO=$\sqrt{3}$，
∵SA=$\sqrt{3}$，∴△SAO是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形．
又因為AH⊥SO，∴H時SO得中點，∴AH=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ABH中，sin$∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{4}$．
∴直線AB與平面SBD所成角的正弦值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了空間線面平行、垂直的判定，幾何法求線面角，屬于中檔題，