Question

9．已知函數(shù)f（x）=${x^{\frac{1}{2}}}$，給出下列結論：
①若x＞1，則f（x）＞1；
②若0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
③若0＜x₁＜x₂，則x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
④若0＜x₁＜x₂，則$\frac{f（x_1）+f（x_2）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．
其中正確結論的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ①④
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 逐項判斷．①由冪函數(shù)的性質(zhì)易得；②構造函數(shù)y=f（x）-x，再判斷其單調(diào)性可解；③構造函數(shù)$y=\frac{f（x）}{x}$，利用其單調(diào)性易得；④利用分析法即可判斷．

解答 解：①由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)$f（x）={x}^{\frac{1}{2}}$在（1，+∞）上為增函數(shù)，所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=1，故①正確；
②設g（x）=f（x）-x=${x}^{\frac{1}{2}}-x$，則$g′（x）=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$，所以當x$∈（0，\frac{1}{4}）$時g′（x）＞0，當$x∈（\frac{1}{4}，+∞）$，g′（x）＜0，即函數(shù)在x$∈（0，\frac{1}{4}）$上遞增，在$x∈（\frac{1}{4}，+∞）$上遞減，所以當$\frac{1}{4}＜{x}_{1}＜{x}_{2}$時，g（x₂）＜g（x₁），即f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，即f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故②錯誤；
③設h（x）=$\frac{f（x）}{x}={x}^{-\frac{1}{2}}$，由冪函數(shù)的性質(zhì)知h（x）為減函數(shù)，故當x₁＜x₂時，有h（x₁）＞h（x₂），即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，即f（x₁）x₂＞f（x₂）x₁，故③錯誤；④要證明$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$，即證$\frac{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}{2}$＜$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，即只需證$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}{4}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，即只需證x₁x₂＞$2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，顯然成立，故④正確．
綜上，正確序號為①④．
故選：B．

點評 本題注意考查函數(shù)單調(diào)性的運用．對②③，利用不等式特點構造函數(shù)是解題關鍵．屬于中檔題．