Question

9．頂點(diǎn)在單位圓上的△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b²+c²=5，$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理求出邊a，結(jié)合條件和三邊關(guān)系判斷出角A是銳角，由余弦定理求出bc的值，代入三角形面積公式求出S_△ABC的值．

解答 解：由題意得，△ABC外接圓的半徑是1，
∵$sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=2$，則a=$\sqrt{3}$，
∵b²+c²=5，∴b²+c²-a²=3＞0，則A是銳角，且A=60°，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則3=5-bc，得bc=2，
∴三角形的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理、余弦定理，以及三角形面積公式的靈活應(yīng)用，注意邊角關(guān)系，屬于中檔題．