Question

15．已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²-（4k+2^k）x+k2^k+2=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（1）求a₃，a₈，a₉的值，并直接寫(xiě)出a_2k-1與a_2k（k≥5），不需證明；
（2）設(shè)b_k=a_2k-1•a_2k（k=1，2，3，…），求數(shù)列{b_k}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，求得方程的兩個(gè)解，由數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k，代入即可求得a₃，a₈，a₉的值及a_2k-1=4k，a_2k=2^k；
（2）由（1）可知：b_k=a_2k-1•a_2k=4k•2^k=k•2^k+2，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{b_k}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）方程x²-（4k+2^k）x+k2^k+2=0的兩個(gè)根分別為，x₁=4k，x₂=2^k，
∴a₃=4，a₈=16，a₉=20，
當(dāng)k≥5時(shí)，4k＜2^k，
∴a_2k-1=4k，a_2k=2^k，
（2）由條件知：b_k=a_2k-1•a_2k=4k•2^k=k•2^k+2，
∴數(shù)列{b_k}的前n項(xiàng)和T_n，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=1×2³+2×2⁴+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=1×2⁴+2×2⁵+3×2⁶+…+n×2ⁿ⁺³，
兩式相減得：-T_n=2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²，-n×2ⁿ⁺³，
=（1-n）2ⁿ⁺³-8，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與方程的應(yīng)用，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．