Question

4．已知圓C：x²+y²=4．
（1）求過定點(diǎn)M（4，0）的圓的切線方程；
（2）直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若$|{AB}|=2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切線方程在為y=k（x-4），利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，即可求解切線方程．
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線方程為x=1，判斷是否滿足題意；當(dāng)直線l不垂直于x軸，設(shè)其直線方程為y-2=k（x-1），設(shè)圓心到此直線距離為d，求出d=1，利用圓心到直線的距離求出k，即可求出直線方程．

解答 解：（1）設(shè)切線方程在為y=k（x-4），即kx-y-4k=0．…（1分）
由題意可得$\frac{{|{-4k}|}}{{\sqrt{1+4k}}}=2⇒k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（3分）
∴切線方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-4}）$．…（4分）
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線方程為x=1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為$（{1，\sqrt{3}}）$和$（{1，-\sqrt{3}}）$，
其距離為$2\sqrt{3}$，滿足題意．…（6分）．．
當(dāng)直線l不垂直于x軸，設(shè)其直線方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，設(shè)圓心到此直線距離為d，則$2\sqrt{3}=2\sqrt{4-{d^2}}$，得d=1，又$d=\frac{{|{-k+2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$．…（9分）
∴解得$k=\frac{3}{4}$，所求直線方程為3x-4y+5=0．…（10分）
綜上所述，所求所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．