Question

1．函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，過曲線y=f（x）上的點P（1，f（x））的切線方程為y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因為y=f（x）在x=-2時有極值，所以f′（-2）=0，列三個方程解之即可
（2）由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，轉化為b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，利用函數(shù)性質求此函數(shù)的最大值即可

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
依題意$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=3}\\{f（1）=1+a+b+c=4}\\{f′（-2）=14-4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-4，c=5，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x²-bx+b
依題意欲使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立
即b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上恒成立
設t=x-1（t＞0），則$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{3（t+1）^{2}}{t}$=3（t+$\frac{1}{t}$+2）≥12，當且僅當t=1，x=2時取等號
∴b≥12時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增

點評 本題考察了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)極值，利用導數(shù)解決已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍問題的方法，考查了轉化化歸的思想方法．