Question

8．已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），則橢圓在其上一點A（x₀，y₀）處的切線方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，試運用該性質解決以下問題：橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其焦距為2，且過點$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．點B為C₁在第一象限中的任意一點，過B作C₁的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，則△OCD面積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 依題意得：橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可得c=1，代入點$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，計算即可求出a，b，從而可求橢圓C₁的方程；設B（x₂，y₂），求得橢圓C₁在點B處的切線方程，分別令x=0，y=0，求得截距，由三角形的面積公式，再結合基本不等式，即可求△OCD面積的最小值．

解答 解：由題意可得2c=2，即c=1，a²-b²=1，
代入點$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
設B（x₂，y₂），
則橢圓C₁在點B處的切線方程為$\frac{{x}_{2}}{2}$x+y₂y=1
令x=0，y_D=$\frac{1}{{y}_{2}}$，令y=0，可得x_C=$\frac{2}{{x}_{2}}$，
所以S_△OCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{y}_{2}}$•$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{2}{y}_{2}}$，
又點B在橢圓的第一象限上，
所以x₂，y₂＞0，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+y₂²=1，
即有$\frac{1}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}$=$\sqrt{2}$，
S_△OCD≥$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$=y₂²=$\frac{1}{2}$，
所以當B（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，三角形OCD的面積的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的最值的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．