Question

17．在平面內(nèi)，點A，B，C分別在直線l₁、l₂、l₃上，且l₁∥l₂∥l₃（l₂在l₁與l₃之間），l₁與l₂間距離為a，l₂與l₃之間距離為b，且$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，則△ABC的面積最小值為（　�。�

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． ab
• C． 2$\sqrt{ab}$
• D． $\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$

Answer 1

分析 由條件判斷$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{CB}$，再作輔助線利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出AB、AC的長，可得S_△ABC 的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，求得它的最小值．

解答 解：△ABC中，由$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CB}$=0，∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{CB}$．
過點B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如圖所示，
∵EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，∴EF⊥l₁⊥l₃，
∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°．
又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC=θ，且θ為銳角．
在△ABE和△BCF中，∵BE=a，BF=b，∴AB=$\frac{BE}{sinθ}$=$\frac{a}{sinθ}$，BC=$\frac{BF}{cosθ}$=$\frac{cosθ}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$•$\frac{a}{sinθ}•\frac{cosθ}$=$\frac{ab}{sin2θ}$，故當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時，S_△ABC 取得最小值為ab，
故選：B．

點評 本題主要考查了兩個向量的數(shù)量積的運算、兩個向量垂直的判定，勾股定理、平行線之間的距離，解題的關(guān)鍵是作輔助線，求出AB和 AC的值，屬于中檔題．