Question

17．如圖所示，△ABC與△DBC是邊長均為2的等邊三角形，且所在兩平面互相垂直，EA⊥平面ABC，且EA=$\sqrt{3}$．
（1）求證：DE∥平面ABC
（2）若2$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{ME}$，求多面體DMAEB的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點F，連接DF，AF．證明DF平行且等于EA，然后證明DE∥平面ABC．
（2）通過多面體DMAEB的體積=V_D-MEB+V_A-MBE，分別求解體積，即可得到多面體DMAEB的體積．

解答 證明：（1）如圖，取BC的中點F，連接DF，AF．
因為△DBC是邊長均為2的等邊三角形，
所以DF=$\sqrt{3}$，DF⊥BC，又因為平面DBC垂直于平面ABC，
所以，DF⊥平面ABC，又EA⊥平面ABC，且$EA=\sqrt{3}$
所以DF平行且等于EA，即四邊形DFAE為矩形；
所以，DE平行于AF，所以，DE∥平面ABC．
（2）因為多面體DMAEB的體積=V_D-MEB+V_A-MBE
又$2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ME}$，所以，${V_{D-MEB}}=\frac{2}{3}{V_{D-CEB}}=\frac{2}{3}{V_{E-DBC}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）×\sqrt{3}=\frac{2}{3}$${V_{A-MEB}}=\frac{2}{3}{V_{A-CEB}}=\frac{2}{3}{V_{E-ABC}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）×\sqrt{3}=\frac{2}{3}$
所以，多面體DMAEB的體積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉化思想的應用．